六角形・八角形の対辺と対角 早見表(正多角形の係数・面積)
正六角形の対角(外接円の直径)は対辺の2/√3≒1.1547倍、正八角形は約1.0824倍、正方形は√2≒1.4142倍です。3〜12角形の外接円・内接円の直径(偶数の角数では対角・対辺)・一辺・面積・内角の係数と、六角材・八角材・四角材の対辺から対角(六角・八角は断面積も)を引く表、丸棒から削り出せる最大の対辺を、正多角形の式から計算しました(角の面取り・丸みのない理論値)。
📐 正多角形の寸法 判断即答ボックス
表1: 正多角形の寸法の係数(一辺 a=1)
| 角数 n | 形 | 内角 | 外接円の直径 D 偶数nは対角 | 内接円の直径 d 偶数nは対辺 | 頂点〜向かいの辺 奇数nのみ | 頂点どうしの 最大距離 奇数nのみ | 面積 A (×a²) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 正三角形 | 60° | 1.154701 | 0.577350 | 0.866025 | 1.000000 | 0.433013 |
| 4 | 正方形 | 90° | 1.414214 | 1.000000 | — | — | 1.000000 |
| 5 | 正五角形 | 108° | 1.701302 | 1.376382 | 1.538842 | 1.618034 | 1.720477 |
| 6 | 正六角形 | 120° | 2.000000 | 1.732051 | — | — | 2.598076 |
| 7 | 正七角形 | 128.5714° 128°34′17″ | 2.304765 | 2.076521 | 2.190643 | 2.246980 | 3.633912 |
| 8 | 正八角形 | 135° | 2.613126 | 2.414214 | — | — | 4.828427 |
| 9 | 正九角形 | 140° | 2.923804 | 2.747477 | 2.835641 | 2.879385 | 6.181824 |
| 10 | 正十角形 | 144° | 3.236068 | 3.077684 | — | — | 7.694209 |
| 11 | 正十一角形 | 147.2727° 147°16′22″ | 3.549466 | 3.405687 | 3.477576 | 3.513337 | 9.365640 |
| 12 | 正十二角形 | 150° | 3.863703 | 3.732051 | — | — | 11.196152 |
※ 一辺の長さに掛けて使います(面積は一辺の2乗に掛けます)。例: 一辺10mmの正六角形は、対角20mm・対辺17.32mm・面積259.8mm²(=2.598076×10²)。奇数の角数(3・5・7・9・11)には平行な辺も向かい合う頂点もないため、外接円・内接円の直径D・dは、どの向きに挟んでも測れる寸法になりません。1つの辺に当てて挟んだ寸法が「頂点〜向かいの辺」(=(D+d)÷2)で、挟んだときの最小の幅です。最大の幅は「頂点どうしの最大距離」(正三角形では一辺、ほかは最も長い対角線)です。
表2: 対辺(内接円の直径)・対角(外接円の直径)を1としたときの係数
| 角数 n | 内接円の直径 d=1 (偶数nは対辺=1) | 外接円の直径 D=1 (偶数nは対角=1) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| D | 一辺 a | 面積 (×d²) | d | 一辺 a | 面積 (×D²) | |
| 3 | 2.000000 | 1.732051 | 1.299038 | 0.500000 | 0.866025 | 0.324760 |
| 4 | 1.414214 | 1.000000 | 1.000000 | 0.707107 | 0.707107 | 0.500000 |
| 5 | 1.236068 | 0.726543 | 0.908178 | 0.809017 | 0.587785 | 0.594410 |
| 6 | 1.154701 | 0.577350 | 0.866025 | 0.866025 | 0.500000 | 0.649519 |
| 7 | 1.109916 | 0.481575 | 0.842756 | 0.900969 | 0.433884 | 0.684103 |
| 8 | 1.082392 | 0.414214 | 0.828427 | 0.923880 | 0.382683 | 0.707107 |
| 9 | 1.064178 | 0.363970 | 0.818933 | 0.939693 | 0.342020 | 0.723136 |
| 10 | 1.051462 | 0.324920 | 0.812299 | 0.951057 | 0.309017 | 0.734732 |
| 11 | 1.042217 | 0.293626 | 0.807473 | 0.959493 | 0.281733 | 0.743381 |
| 12 | 1.035276 | 0.267949 | 0.803848 | 0.965926 | 0.258819 | 0.750000 |
※ 左の3列は対辺(内接円の直径)に、右の3列は対角(外接円の直径)に掛けます。例: 対辺20mmの正八角形は、対角20×1.082392≒21.65mm・一辺20×0.414214≒8.28mm。右の d の列(=cos(180°÷n))は、直径Dの丸棒から削り出せる最大の正n角形の内接円の直径の係数です(表4)。右の一辺 a の列(=sin(180°÷n))は、PCDの穴位置の早見表の弦長係数と同じ値です。
表3: 六角材・八角材・四角材の対辺→対角・断面積
| 対辺 s mm | 六角 対角 mm | 六角 断面積 mm² | 八角 対角 mm | 八角 断面積 mm² | 四角 対角 mm |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 5.77 | 21.65 | 5.41 | 20.71 | 7.07 |
| 6 | 6.93 | 31.18 | 6.49 | 29.82 | 8.49 |
| 7 | 8.08 | 42.44 | 7.58 | 40.59 | 9.90 |
| 8 | 9.24 | 55.43 | 8.66 | 53.02 | 11.31 |
| 9 | 10.39 | 70.15 | 9.74 | 67.10 | 12.73 |
| 10 | 11.55 | 86.60 | 10.82 | 82.84 | 14.14 |
| 11 | 12.70 | 104.8 | 11.91 | 100.2 | 15.56 |
| 12 | 13.86 | 124.7 | 12.99 | 119.3 | 16.97 |
| 13 | 15.01 | 146.4 | 14.07 | 140.0 | 18.38 |
| 14 | 16.17 | 169.7 | 15.15 | 162.4 | 19.80 |
| 15 | 17.32 | 194.9 | 16.24 | 186.4 | 21.21 |
| 16 | 18.48 | 221.7 | 17.32 | 212.1 | 22.63 |
| 17 | 19.63 | 250.3 | 18.40 | 239.4 | 24.04 |
| 18 | 20.78 | 280.6 | 19.48 | 268.4 | 25.46 |
| 19 | 21.94 | 312.6 | 20.57 | 299.1 | 26.87 |
| 20 | 23.09 | 346.4 | 21.65 | 331.4 | 28.28 |
| 21 | 24.25 | 381.9 | 22.73 | 365.3 | 29.70 |
| 22 | 25.40 | 419.2 | 23.81 | 401.0 | 31.11 |
| 23 | 26.56 | 458.1 | 24.90 | 438.2 | 32.53 |
| 24 | 27.71 | 498.8 | 25.98 | 477.2 | 33.94 |
| 25 | 28.87 | 541.3 | 27.06 | 517.8 | 35.36 |
| 26 | 30.02 | 585.4 | 28.14 | 560.0 | 36.77 |
| 27 | 31.18 | 631.3 | 29.22 | 603.9 | 38.18 |
| 28 | 32.33 | 679.0 | 30.31 | 649.5 | 39.60 |
| 29 | 33.49 | 728.3 | 31.39 | 696.7 | 41.01 |
| 30 | 34.64 | 779.4 | 32.47 | 745.6 | 42.43 |
| 31 | 35.80 | 832.3 | 33.55 | 796.1 | 43.84 |
| 32 | 36.95 | 886.8 | 34.64 | 848.3 | 45.25 |
| 33 | 38.11 | 943.1 | 35.72 | 902.2 | 46.67 |
| 34 | 39.26 | 1,001 | 36.80 | 957.7 | 48.08 |
| 35 | 40.41 | 1,061 | 37.88 | 1,015 | 49.50 |
| 36 | 41.57 | 1,122 | 38.97 | 1,074 | 50.91 |
| 37 | 42.72 | 1,186 | 40.05 | 1,134 | 52.33 |
| 38 | 43.88 | 1,251 | 41.13 | 1,196 | 53.74 |
| 39 | 45.03 | 1,317 | 42.21 | 1,260 | 55.15 |
| 40 | 46.19 | 1,386 | 43.30 | 1,325 | 56.57 |
| 45 | 51.96 | 1,754 | 48.71 | 1,678 | 63.64 |
| 50 | 57.74 | 2,165 | 54.12 | 2,071 | 70.71 |
| 55 | 63.51 | 2,620 | 59.53 | 2,506 | 77.78 |
| 60 | 69.28 | 3,118 | 64.94 | 2,982 | 84.85 |
| 65 | 75.06 | 3,659 | 70.36 | 3,500 | 91.92 |
| 70 | 80.83 | 4,244 | 75.77 | 4,059 | 98.99 |
| 75 | 86.60 | 4,871 | 81.18 | 4,660 | 106.07 |
| 80 | 92.38 | 5,543 | 86.59 | 5,302 | 113.14 |
| 85 | 98.15 | 6,257 | 92.00 | 5,985 | 120.21 |
| 90 | 103.92 | 7,015 | 97.42 | 6,710 | 127.28 |
| 95 | 109.70 | 7,816 | 102.83 | 7,477 | 134.35 |
| 100 | 115.47 | 8,660 | 108.24 | 8,284 | 141.42 |
※ 対角は 六角=s×2/√3、八角=s÷cos22.5°、四角=s×√2、断面積は 六角=(√3/2)s²、八角=2(√2−1)s² で計算しました(四角の断面積はs²)。角の面取り・丸みのない、とがった角の理論値です。実物の六角材・六角ボルトの頭・ナットは角が面取りされたり丸められたりしているため、測った対角はこの値より小さくなります。対辺は計算の例として選んだ値で、材料や部品の規格の寸法を示すものではありません(ボルト・ナットの二面幅はスパナサイズの早見表)。
表4: 丸棒の径から削り出せる最大の対辺
| 丸棒の径 D mm | 四角(正方形) 対辺 mm | 六角 対辺 mm | 八角 対辺 mm |
|---|---|---|---|
| φ5 | 3.53 | 4.33 | 4.61 |
| φ6 | 4.24 | 5.19 | 5.54 |
| φ8 | 5.65 | 6.92 | 7.39 |
| φ10 | 7.07 | 8.66 | 9.23 |
| φ12 | 8.48 | 10.39 | 11.08 |
| φ13 | 9.19 | 11.25 | 12.01 |
| φ15 | 10.60 | 12.99 | 13.85 |
| φ16 | 11.31 | 13.85 | 14.78 |
| φ19 | 13.43 | 16.45 | 17.55 |
| φ20 | 14.14 | 17.32 | 18.47 |
| φ22 | 15.55 | 19.05 | 20.32 |
| φ25 | 17.67 | 21.65 | 23.09 |
| φ28 | 19.79 | 24.24 | 25.86 |
| φ30 | 21.21 | 25.98 | 27.71 |
| φ32 | 22.62 | 27.71 | 29.56 |
| φ35 | 24.74 | 30.31 | 32.33 |
| φ36 | 25.45 | 31.17 | 33.25 |
| φ40 | 28.28 | 34.64 | 36.95 |
| φ45 | 31.81 | 38.97 | 41.57 |
| φ50 | 35.35 | 43.30 | 46.19 |
| φ55 | 38.89 | 47.63 | 50.81 |
| φ60 | 42.42 | 51.96 | 55.43 |
| φ65 | 45.96 | 56.29 | 60.05 |
| φ70 | 49.49 | 60.62 | 64.67 |
| φ75 | 53.03 | 64.95 | 69.29 |
| φ80 | 56.56 | 69.28 | 73.91 |
| φ90 | 63.63 | 77.94 | 83.14 |
| φ100 | 70.71 | 86.60 | 92.38 |
※ 対辺=D×cos(180°÷n)(四角=D÷√2、六角=D×√3/2、八角=D×cos22.5°)で、正n角形の角(頂点)が丸棒の外周にちょうど接するときの値で、小数第2位で切り捨てています。これより大きい対辺では角が欠けます。実際の加工では、丸棒の径の公差・削り代・角の面取りを見込んで、この値より小さく決めてください。逆に、対辺sを取るのに要る丸棒の最小の径は表3の対角です(四捨五入値なので端数は切り上げて見ます)。
使い方
- 対辺から対角を出す — 六角は対辺×1.1547、八角は×1.0824、四角は×1.4142(表3)。例: 対辺17mmの六角材の対角は19.63mm(角がとがっているとした値)。穴や筒に入るか、チャックでつかめるかの目安になります。
- 丸棒から削り出す — 六角の対辺は丸棒の径×0.8660、四角は×0.7071、八角は×0.9239が理論上の最大です(表4)。φ20なら六角17.32mm・四角14.14mm・八角18.47mm(切り捨て)。
- 角材の角を落として八角にする — 対辺sの角材の4つの角を、同じ大きさのC面で落とすと正八角形になるのは C=s×(1−1/√2)≒0.2929s のときです。角材20mmなら C≒5.86mm、八角の一辺は約8.28mm(C面の表し方は面取り記号の早見表)。
- 断面積から重さを出す — 重さ=断面積×長さ×密度。mm²×mm÷1,000でcm³、×g/cm³でgです。対辺20mmの六角材の断面積は346.4mm²です(表3)。密度は比重・密度の早見表で引きます。
- 奇数の角数の部品を測る — 頂点〜向かいの辺=(外接円の直径+内接円の直径)÷2(表1)。正五角形なら一辺の約1.5388倍です。
計算式と導き方
- 基本の三角形 — 中心と1つの辺の両端を結ぶと、頂角360°÷nの二等辺三角形がn個できます。頂角の半分を θ=180°÷n とすると、半分の辺(a÷2)・中心から頂点(D÷2)・中心から辺(d÷2)が直角三角形をつくります。
- 一辺・対辺・対角の関係 — a=D×sinθ=d×tanθ、d=D×cosθ。偶数nでは向かい合う頂点・辺があるので、対角=D、対辺=dです。
- 面積 — 二等辺三角形n個の合計で、A=n×a×d÷4=(n/4)×a²÷tanθ=(n/4)×d²×tanθ=(n/8)×D²×sin2θ。正六角形は(√3/2)×対辺²、正八角形は2(√2−1)×対辺²です。
- 内角 — (n−2)×180°÷n。七角形は128.571…°、十一角形は147.272…°で割り切れません。
- 奇数nの幅 — 頂点は向かいの辺の中点と中心を通る直線の上にあるので、頂点〜向かいの辺=D÷2+d÷2。頂点どうしの最大距離=D×cos(90°÷n)で、正五角形では一辺の(1+√5)/2≒1.6180倍です。
- 角度の単位 — 度は円周を360等分した弧の中心に対する角度、1′=1/60°、1″=1/3600°です(計量単位令 別表第一)。
間違えやすいポイント
- 実物の対角を計算値で決める — 六角ボルトの頭・ナット・六角材の角は面取りや丸みがあり、測った対角は計算値より小さくなります。部品の対角の規格値は、それぞれの規格で確認してください。
- 一辺と対辺の取り違え — 正六角形の一辺は対角の半分(=対辺÷√3≒0.5774×対辺)です。対辺17mmなら一辺は約9.81mmです。
- 奇数の角数で「対辺」を使う — 五角形などには平行な辺がないので、2つの辺の間の距離としての対辺はありません。図面で寸法を読むときは、内接円の直径か、頂点〜向かいの辺かを確かめます。
- 丸棒の径ちょうどで削り出す — 表4の値は角が外周に接する理論上の最大で、径の公差や削り代があると角が欠けます。
よくある質問
Q1. 六角形の対辺から対角を求める式は?
A. 対角=対辺×2/√3≒対辺×1.1547です(角がとがっているとした理論値)。対辺10mmなら約11.55mm、対辺17mmなら約19.63mmです。一辺は対角の半分です。
Q2. 六角形の対角から対辺を求めるには?
A. 対辺=対角×√3/2≒対角×0.8660です。対角20mmなら対辺は約17.32mmです。直径Dの丸棒から削り出せる最大の六角の対辺も、同じくD×√3/2です。
Q3. 八角形の対辺と対角・一辺の関係は?
A. 正八角形は対角=対辺÷cos22.5°≒対辺×1.0824、一辺=対辺×tan22.5°=対辺×(√2−1)≒対辺×0.4142です。断面積は2(√2−1)×対辺²≒0.8284×対辺²です。
Q4. 丸棒から削り出せる最大の六角・四角の対辺は?
A. 丸棒の径Dに対して、六角はD×√3/2≒D×0.8660、四角はD÷√2≒D×0.7071、八角はD×cos22.5°≒D×0.9239です。φ20なら六角17.32mm・四角14.14mmです。角が外周にちょうど接する理論上の最大なので、実際は径の公差や削り代を見込んで小さく決めます。
Q5. 正六角形の面積の公式は?
A. 対辺をsとするとA=(√3/2)×s²≒0.8660×s²、一辺をaとすると A=(3√3/2)×a²≒2.5981×a² です。対辺20mmなら約346.4mm²です。
Q6. 五角形など奇数の角数の対辺は?
A. 奇数の角数の正多角形には平行な辺がないため、2つの辺の間の距離としての対辺はありません。1つの辺から向かいの頂点までの距離は(外接円の直径+内接円の直径)÷2で、正五角形では一辺の約1.5388倍です(内接円の直径は約1.3764倍、外接円の直径は約1.7013倍)。
Q7. 実物の六角ボルトや六角材の対角が計算値より小さいのはなぜ?
A. 計算値は角がとがった正六角形の値ですが、実物の六角ボルトの頭・ナット・六角材は角が面取りされたり丸められたりしているためです。部品の対角の規格値は、それぞれの規格で確認してください。
関連する早見表
- スパナ・レンチサイズ — ボルト・ナットの二面幅
- PCDの穴位置 — 円周等分の座標と弦長
- 断面二次モーメント・断面係数 — 丸棒・角棒の断面性能
- 金属の重量計算 — 六角棒・角棒の重さ
- 比重・密度 — 重さの計算に使う密度
- 面取り記号 — C面・R面の寸法
出典・参考
- 計量単位令(平成四年政令第三百五十七号)別表第一 第一号(長さ: メートル)・第八号(角度: ラジアン=円の半径に等しい長さの弧の中心に対する角度、度=円周を360等分した弧の中心に対する角度、分=度の1/60、秒=度の1/3600)・第十号(面積: 平方メートル)、第四条・別表第四(接頭語 ミリ=10の3乗分の1)・別表第五 第一号(平方メートルの接頭語は乗数の2乗) — e-Gov法令検索の現行条文(令和五年政令第三百七十六号による改正、2023年12月28日施行。2026年11月1日に取得)で確認
- 計算式(正多角形の一辺・内接円・外接円・面積・内角・幅の関係)は、当サイトが上の単位の定義のもとで三角関数から導いたものです(導き方は本文)。
※ 表の値はすべて、θ=180°÷n として a=D×sinθ=d×tanθ、A=n×a×d÷4、内角=(n−2)×180°÷n などの式から当サイトが計算した値です。有効数字60桁で計算してから四捨五入し、頂点の座標から数値で求めた辺の長さ・面積・内角・挟んだときの幅と一致することを確かめています。
※ 丸め: 四捨五入。係数は小数第6位、長さ(対角・対辺)は小数第2位(0.01mm。表4だけは切り捨て)、断面積は有効数字4桁(1,000以上は整数)、角度は小数第4位と度分秒(1″)。本文の「≒1.1547」などは小数第4位に丸めた値です。
※ 本ページの値は、角の面取り・丸み、寸法の公差を含まない幾何学的な理論値です。表の寸法は計算の例として選んだ値で、材料・部品の規格の寸法を示すものではありません。部品の設計・加工の判断は、図面・規格と有資格者・メーカーの資料の確認のうえで行ってください。
※ 本ページの表・数値は、上記の出典をもとに当サイトが計算・編集（加工）して作成したものです。出典元の機関・団体が作成したものではありません。
最終更新: 2026-11-01