弦長・矢高・円弧の長さ 早見表(半径の逆算・中心角別の係数)
半径R・中心角θの円弧は、弦長C=2R×sin(θ/2)、矢高h=R×(1−cos(θ/2))、弧長L=R×θ(rad)。弦長と矢高が分かれば R=(C²÷4+h²)÷(2h) で半径を逆算できます。中心角ごとの係数、弦長1000mmの矢高→半径、半径×弦長→矢高の表です(式から計算した値)。
⌒ 円弧 判断即答ボックス
表1: 中心角ごとの弦長・矢高・弧長の係数
| 中心角θ(度) | 弦長÷R 2sin(θ/2) | 矢高÷R 1−cos(θ/2) | 弧長÷R θ(rad) | 矢高÷弦長 | 弧長÷弦長 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.017453 | 0.000038 | 0.017453 | 0.002182 | 1.000013 |
| 2 | 0.034905 | 0.000152 | 0.034907 | 0.004363 | 1.000051 |
| 3 | 0.052354 | 0.000343 | 0.052360 | 0.006545 | 1.000114 |
| 4 | 0.069799 | 0.000609 | 0.069813 | 0.008728 | 1.000203 |
| 5 | 0.087239 | 0.000952 | 0.087266 | 0.010910 | 1.000317 |
| 10 | 0.174311 | 0.003805 | 0.174533 | 0.021830 | 1.001270 |
| 15 | 0.261052 | 0.008555 | 0.261799 | 0.032772 | 1.002862 |
| 20 | 0.347296 | 0.015192 | 0.349066 | 0.043744 | 1.005095 |
| 25 | 0.432879 | 0.023704 | 0.436332 | 0.054759 | 1.007977 |
| 30 | 0.517638 | 0.034074 | 0.523599 | 0.065826 | 1.011515 |
| 35 | 0.601412 | 0.046283 | 0.610865 | 0.076957 | 1.015719 |
| 40 | 0.684040 | 0.060307 | 0.698132 | 0.088163 | 1.020600 |
| 45 | 0.765367 | 0.076120 | 0.785398 | 0.099456 | 1.026172 |
| 50 | 0.845237 | 0.093692 | 0.872665 | 0.110847 | 1.032450 |
| 55 | 0.923497 | 0.112989 | 0.959931 | 0.122349 | 1.039452 |
| 60 | 1.000000 | 0.133975 | 1.047198 | 0.133975 | 1.047198 |
| 65 | 1.074599 | 0.156609 | 1.134464 | 0.145737 | 1.055709 |
| 70 | 1.147153 | 0.180848 | 1.221730 | 0.157649 | 1.065011 |
| 75 | 1.217523 | 0.206647 | 1.308997 | 0.169727 | 1.075131 |
| 80 | 1.285575 | 0.233956 | 1.396263 | 0.181985 | 1.086100 |
| 85 | 1.351180 | 0.262723 | 1.483530 | 0.194439 | 1.097951 |
| 90 | 1.414214 | 0.292893 | 1.570796 | 0.207107 | 1.110721 |
| 95 | 1.474555 | 0.324410 | 1.658063 | 0.220005 | 1.124450 |
| 100 | 1.532089 | 0.357212 | 1.745329 | 0.233154 | 1.139183 |
| 105 | 1.586707 | 0.391239 | 1.832596 | 0.246573 | 1.154968 |
| 110 | 1.638304 | 0.426424 | 1.919862 | 0.260284 | 1.171859 |
| 115 | 1.686783 | 0.462700 | 2.007129 | 0.274309 | 1.189915 |
| 120 | 1.732051 | 0.500000 | 2.094395 | 0.288675 | 1.209200 |
| 125 | 1.774022 | 0.538251 | 2.181662 | 0.303407 | 1.229783 |
| 130 | 1.812616 | 0.577382 | 2.268928 | 0.318535 | 1.251743 |
| 135 | 1.847759 | 0.617317 | 2.356194 | 0.334089 | 1.275163 |
| 140 | 1.879385 | 0.657980 | 2.443461 | 0.350104 | 1.300138 |
| 145 | 1.907434 | 0.699294 | 2.530727 | 0.366615 | 1.326771 |
| 150 | 1.931852 | 0.741181 | 2.617994 | 0.383663 | 1.355173 |
| 155 | 1.952592 | 0.783560 | 2.705260 | 0.401292 | 1.385471 |
| 160 | 1.969616 | 0.826352 | 2.792527 | 0.419550 | 1.417803 |
| 165 | 1.982890 | 0.869474 | 2.879793 | 0.438488 | 1.452321 |
| 170 | 1.992389 | 0.912844 | 2.967060 | 0.458166 | 1.489197 |
| 175 | 1.998096 | 0.956381 | 3.054326 | 0.478646 | 1.528618 |
| 180 | 2.000000 | 1.000000 | 3.141593 | 0.500000 | 1.570796 |
※ 半径Rに係数を掛けると長さになります(例: R=100mm・90°なら弦長141.421mm・矢高29.289mm・弧長157.080mm)。右の2列は弦長に掛ける係数で、弦長と中心角から矢高・弧長を出すときや、矢高÷弦長から中心角を当たるときに使います。係数は小数第6位に四捨五入しています。
表2: 弦長1000mmで矢高から半径を引く
| 矢高h(mm) | 半径R(mm) | 中心角θ(度) | 弧長L(mm) | 弧長−弦長(mm) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 125,000.500 | 0.4584 | 1,000.003 | 0.003 |
| 2 | 62,501.000 | 0.9167 | 1,000.011 | 0.011 |
| 3 | 41,668.167 | 1.3751 | 1,000.024 | 0.024 |
| 5 | 25,002.500 | 2.2918 | 1,000.067 | 0.067 |
| 10 | 12,505.000 | 4.5831 | 1,000.267 | 0.267 |
| 15 | 8,340.833 | 6.8734 | 1,000.600 | 0.600 |
| 20 | 6,260.000 | 9.1624 | 1,001.066 | 1.066 |
| 25 | 5,012.500 | 11.4496 | 1,001.666 | 1.666 |
| 30 | 4,181.667 | 13.7345 | 1,002.398 | 2.398 |
| 40 | 3,145.000 | 18.2957 | 1,004.261 | 4.261 |
| 50 | 2,525.000 | 22.8424 | 1,006.653 | 6.653 |
| 60 | 2,113.333 | 27.3711 | 1,009.573 | 9.573 |
| 70 | 1,820.714 | 31.8784 | 1,013.016 | 13.016 |
| 80 | 1,602.500 | 36.3611 | 1,016.980 | 16.980 |
| 90 | 1,433.889 | 40.8159 | 1,021.462 | 21.462 |
| 100 | 1,300.000 | 45.2397 | 1,026.457 | 26.457 |
| 125 | 1,062.500 | 56.1450 | 1,041.159 | 41.159 |
| 150 | 908.333 | 66.7970 | 1,058.960 | 58.960 |
| 200 | 725.000 | 87.2056 | 1,103.468 | 103.468 |
| 250 | 625.000 | 106.2602 | 1,159.119 | 159.119 |
| 300 | 566.667 | 123.8550 | 1,224.951 | 224.951 |
| 400 | 512.500 | 154.6392 | 1,383.219 | 383.219 |
| 500 | 500.000 | 180.0000 | 1,570.796 | 570.796 |
※ R=(C²÷4+h²)÷(2h)、θ=4×tan⁻¹(2h÷C)、L=R×θ(rad)で計算。形が相似なので、弦長k×1000mm・矢高k×hの円弧は、hの行のRと弧長をk倍した値になります(中心角は同じ。例: 弦長500mm・矢高5mmは、矢高10mmの行の半分でR=6,252.5mm)。長さは小数第3位、角度は小数第4位に四捨五入しています。
表3: 半径と弦長から矢高を引く(mm)
| 半径R | 弦長50 | 弦長100 | 弦長200 | 弦長300 | 弦長500 | 弦長1,000 | 弦長2,000 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 50 | 6.699 | 50.000 | — | — | — | — | — |
| 100 | 3.175 | 13.397 | 100.000 | — | — | — | — |
| 150 | 2.098 | 8.579 | 38.197 | 150.000 | — | — | — |
| 200 | 1.569 | 6.351 | 26.795 | 67.712 | — | — | — |
| 250 | 1.253 | 5.051 | 20.871 | 50.000 | 250.000 | — | — |
| 300 | 1.043 | 4.196 | 17.157 | 40.192 | 134.169 | — | — |
| 400 | 0.782 | 3.137 | 12.702 | 29.190 | 87.750 | — | — |
| 500 | 0.625 | 2.506 | 10.102 | 23.030 | 66.987 | 500.000 | — |
| 600 | 0.521 | 2.087 | 8.392 | 19.052 | 54.564 | 268.338 | — |
| 800 | 0.391 | 1.564 | 6.275 | 14.188 | 40.066 | 175.500 | — |
| 1,000 | 0.313 | 1.251 | 5.013 | 11.314 | 31.754 | 133.975 | 1,000.000 |
| 1,500 | 0.208 | 0.834 | 3.337 | 7.519 | 20.980 | 85.786 | 381.966 |
| 2,000 | 0.156 | 0.625 | 2.502 | 5.633 | 15.687 | 63.508 | 267.949 |
| 3,000 | 0.104 | 0.417 | 1.667 | 3.752 | 10.435 | 41.960 | 171.573 |
| 5,000 | 0.063 | 0.250 | 1.000 | 2.251 | 6.254 | 25.063 | 101.021 |
| 10,000 | 0.031 | 0.125 | 0.500 | 1.125 | 3.125 | 12.508 | 50.126 |
※ h=R−√(R²−(C÷2)²)で計算し、小数第3位に四捨五入しています。弦長が直径(2R)と同じなら半円で矢高=R、直径より長い弦はとれないので「—」です。中心角が180°を超える側の弧(大きい方の弧)の矢高はR+√(R²−(C÷2)²)です。
表4: 円弧の割付けの例(スパン4,000mm・ライズ500mm)
| スパン中央からの距離x(mm) | 弦からの高さy(mm) |
|---|---|
| 0 | 500.000 |
| 250 | 492.641 |
| 500 | 470.486 |
| 750 | 433.300 |
| 1,000 | 380.678 |
| 1,250 | 312.019 |
| 1,500 | 226.493 |
| 1,750 | 122.983 |
| 2,000 | 0.000 |
※ 弦長(スパン)C=4,000mm・矢高(ライズ)h=500mmの円弧はR=4,250mm。弦の中央からx離れた点の弦からの高さは y=√(R²−x²)−(R−h) です(左右対称)。スパンとライズをk倍した円弧なら、xとyもk倍になります。小数第3位に四捨五入しています。
使い方
- 曲げた材料・曲面の半径を測る — 長さCの定規を弧の内側(凹側)の2点に当て、中央のすき間hを測ってR=(C²÷4+h²)÷(2h)。外側(凸側)に当てるなら、中央で接した定規から、中央よりC÷2離れた位置での離れがhです。
- アーチ・R壁・型枠 — スパン(弦長)とライズ(矢高)からRを出し、表4の式で割付けの高さを出します。
- 曲げ加工の長さ — 弧長L=R×θ(rad)=π×R×θ°÷180。90°のコーナーRなら1.570796R(R5で7.854mm)。板や管を曲げる材料の長さは、内側・外側・板厚の中のどの位置の半径で計算するかで変わるため、図面・加工の基準で確かめてください。
- 穴の間隔(PCD) — 円周上の2点の間隔も弦長です。円周等分の穴の座標と間隔はPCDの穴位置にまとめています。
式と導き方
- 弦長 C=2R×sin(θ/2) — 中心と弦の両端を結ぶ二等辺三角形を半分にした直角三角形で、弦の半分=R×sin(θ/2)。
- 矢高 h=R×(1−cos(θ/2)) — 中心から弦までの距離がR×cos(θ/2)なので、残りが矢高。
- 弧長 L=R×θ — θはラジアン(度なら×π÷180)。ラジアンは半径に等しい長さの弧の中心に対する角度(計量単位令 別表第一 第八号)なので、弧長=半径×ラジアンです。
- 半径の逆算 R=(C²÷4+h²)÷(2h)=C²÷(8h)+h÷2 — 直角三角形の (R−h)²+(C÷2)²=R² を解いたもの。この半径の式は、180°を超える弧(h>C÷2)でもそのまま使えます。
- 中心角の逆算 θ=4×tan⁻¹(2h÷C)(180°を超える弧でもそのまま)。半径と弦長からの θ=2×sin⁻¹(C÷2R) は180°以下の弧の値で、大きい方の弧の中心角は360°からその値を引きます(例: R=100mm・弦長100mmなら60°と300°)。
Cとhは同じ単位で入れます(mmならRもmm)。簡略式R≒C²÷(8h)は正しいRよりh÷2だけ小さく出ますが、矢高が弦長の5%以下なら差は1%未満です(弦長1000mm・矢高10mmで12,500mmと12,505mm、差0.04%)。
間違えやすいポイント
- 矢高が小さいときの測り誤差 — 矢高が弦長より十分小さいとき、Rは矢高にほぼ反比例するので、矢高の誤差の割合がほぼそのままRの誤差の割合になります。弦長1000mmで矢高5mmを5.5mmと測るとRは25,002.500→22,730.023mm(約9.1%)、弦長2000mmで矢高20mmを20.5mmと測ると25,010.000→24,400.494mm(約2.4%)。弦を長くとって矢高を大きくすると誤差の割合が小さくなります。
- 度とラジアン — 弧長L=R×θのθはラジアンです。度のまま掛けると約57.3倍の値になります。
- 弦長と弧長 — 弦長は直線の長さ、弧長は曲線に沿った長さです。中心角が小さいと差はわずかで(弦長1000mm・矢高10mmで0.267mm)、半円では弧長が弦長の約1.57倍です。
よくある質問
Q1. 弦長の計算式は?
A. 弦長C=2R×sin(θ/2)です(R: 半径、θ: 中心角)。例えばR=100mm・中心角60°なら2×100×sin30°=100mmで、半径と同じになります。
Q2. 矢高(サジタ)とは?計算式は?
A. 弦の中点から弧までの、弦に垂直な高さです。h=R×(1−cos(θ/2))、半径と弦長からならh=R−√(R²−(C÷2)²)です。R=1000mm・弦長500mmなら31.754mmです。
Q3. 弦長と矢高から半径を求めるには?
A. R=(C²÷4+h²)÷(2h)です。弦長1000mm・矢高10mmなら(250000+100)÷20=12,505mmです。半径・矢高・弦の半分がつくる直角三角形の(R−h)²+(C÷2)²=R²から導けます。
Q4. 円弧の長さ(弧長)の計算式は?
A. L=R×θで、θはラジアンです。度で計算するならL=π×R×θ÷180です。R=100mm・90°なら157.080mm、半円ならπR(R×3.141593)です。
Q5. 弦長と矢高から弧長を出すには?
A. 先にR=(C²÷4+h²)÷(2h)と中心角θ=4×tan⁻¹(2h÷C)を出し、L=R×θ(rad)とします。弦長1000mm・矢高100mmなら、R=1,300mm・θ=45.2397°・弧長1,026.457mmです。
Q6. 半径と弦長から中心角を出すには?
A. θ=2×sin⁻¹(C÷2R)です。R=1000mm・弦長500mmなら2×sin⁻¹(0.25)=28.9550°で、弧長は505.361mmです。この式は180°以下の弧の値で、大きい方の弧の中心角は360°からこの値を引きます。
Q7. 曲げた材料や曲面の半径を現場で測るには?
A. 長さCの定規を弧の内側の2点に当てて中央のすき間(矢高h)を測り、R=(C²÷4+h²)÷(2h)で計算します。矢高が小さいほど測り誤差でRが大きく変わるため、弦はなるべく長くとります(弦長1000mmで矢高5mmを5.5mmと測るとRは約9.1%変わります)。
関連する早見表
- PCDの穴位置 — 円周等分の座標と穴の間隔(弦長)
- 面取り記号 — C面・R面の読み方
- 勾配換算 — 寸・度・%・‰
- 溶接エルボ・チーズ寸法 — ロング・ショートエルボの中心〜端面
出典・参考
- 計量単位令(平成四年政令第三百五十七号) — 第二条・別表第一 第八号(角度: ラジアン=円の半径に等しい長さの弧の中心に対する角度、度=円周を三百六十等分した弧の中心に対する角度)、第一号(メートル)、第四条・別表第四(接頭語。ミリ=十の三乗分の一) — e-Gov法令検索の現行版(令和五年政令第三百七十六号による改正、2023年12月28日施行)で確認(2026年11月1日)
- 弦長・矢高・弧長・半径の逆算の式は、円の中心・弦・弧がつくる直角三角形(三平方の定理)と上の角度の定義から当サイトが導いたものです(導き方は本文)。
※ 表の値はすべて、上の式で当サイトが計算した値です(有効数字60桁で計算してから四捨五入。求めたRから弦長・矢高を計算し直して元の値に戻ることを確認)。寸法は計算の例として選んだ値です。
※ 丸め(四捨五入): 係数は小数第6位、長さ(mm)は小数第3位、中心角は小数第4位、割合(%)は小数第1位(簡略式の差は小数第2位)です。
※ 本ページは円弧の幾何学的な理論値(材料の伸び・スプリングバック・加工誤差を含まない)を引くための早見表です。加工・施工の判断は、図面・仕様と有資格者・メーカーの資料の確認のうえで行ってください。
※ 本ページの表・数値は、上記の出典をもとに当サイトが計算・編集（加工）して作成したものです。出典元の機関・団体が作成したものではありません。
最終更新: 2026-11-01