はりの公式 早見表(反力・最大曲げモーメント・最大たわみ・たわみ角)
単純ばり・等分布荷重はM=wL²/8・δ=5wL⁴/(384EI)、中央集中荷重はM=PL/4・δ=PL³/(48EI)。片持ちばり・単純ばり・両端固定ばり・一端固定他端ピンの公式を、はりの微分方程式を解いて確かめた係数とともにまとめました(弾性範囲・小さいたわみ・せん断変形を無視・断面一定の式)。
📏 はりの公式 判断即答ボックス
表1: はりの公式(支点反力・最大曲げモーメント・最大たわみ・たわみ角)
| はりの支え方・荷重 | 支点反力 R | 最大曲げモーメント Mmax(位置) | 最大たわみ δmax(位置) | たわみ角 θ (位置) |
|---|---|---|---|---|
| 片持ちばり 先端に集中荷重P | P(固定端) | PL 固定端・上側が引張 | PL³/(3EI) 先端 | PL²/(2EI) 先端 |
| 片持ちばり 全長に等分布荷重w | wL(固定端) | wL²/2 固定端・上側が引張 | wL⁴/(8EI) 先端 | wL³/(6EI) 先端 |
| 単純ばり 中央に集中荷重P | P/2(両支点) | PL/4 中央 | PL³/(48EI) 中央 | PL²/(16EI) 両支点 |
| 単純ばり 任意の位置に集中荷重P 支点Aからa・支点Bからb、a≦b | RA=Pb/L RB=Pa/L | Pab/L 荷重点 | Pa(L²−a²)3/2/(9√3·EIL) 支点Bから√((L²−a²)/3)の点 荷重点のたわみ Pa²b²/(3EIL) | θA=Pab(L+b)/(6EIL) θB=Pab(L+a)/(6EIL) |
| 単純ばり 全長に等分布荷重w | wL/2(両支点) | wL²/8 中央 | 5wL⁴/(384EI) 中央 | wL³/(24EI) 両支点 |
| 両端固定ばり 中央に集中荷重P | P/2(両端) | PL/8 固定端(上側が引張)と中央(下側が引張)で同じ大きさ | PL³/(192EI) 中央 | 0 両端 |
| 両端固定ばり 全長に等分布荷重w | wL/2(両端) | wL²/12 固定端・上側が引張(中央はwL²/24) | wL⁴/(384EI) 中央 | 0 両端 |
| 一端固定・他端ピン 中央に集中荷重P | 固定端 11P/16 ピン端 5P/16 | 3PL/16 固定端・上側が引張(荷重点は5PL/32) | PL³/(48√5·EI)≒0.009317PL³/EI ピン端から0.4472L(=L/√5) 中央のたわみ 7PL³/(768EI) | PL²/(32EI) ピン端(固定端は0) |
| 一端固定・他端ピン 全長に等分布荷重w | 固定端 5wL/8 ピン端 3wL/8 | wL²/8 固定端・上側が引張(ピン端から3L/8の点で9wL²/128) | ≒0.005416wL⁴/EI (≒wL⁴/(185EI))ピン端から0.4215L(=(1+√33)L/16) | wL³/(48EI) ピン端(固定端は0) |
L: スパン(片持ちばりは突き出しの長さ)、P: 集中荷重、w: 単位長さあたりの等分布荷重、E: ヤング率(縦弾性係数)、I: 断面二次モーメント。曲げモーメントは大きさを示し、固定端は上側が引張になる向き(負の曲げモーメント)です。最大せん断力は、表のどの場合も支点反力の大きいほうと同じ大きさです。たわみ角(単位はラジアン)は、両端固定ばりだけ端の値0で、最大値ではありません。
表2: 係数の一覧と、支え方によるたわみの違い
| はりの支え方・荷重 | 最大曲げモーメント | 最大たわみ | たわみの比 単純ばり・等分布=1 |
|---|---|---|---|
| 片持ちばり・先端に集中荷重 | 1×PL | 0.3333×PL³/EI | 25.6 |
| 片持ちばり・等分布荷重 | 0.5×wL² | 0.125×wL⁴/EI | 9.6 |
| 単純ばり・中央に集中荷重 | 0.25×PL | 0.02083×PL³/EI | 1.6 |
| 単純ばり・等分布荷重 | 0.125×wL² | 0.01302×wL⁴/EI | 1 |
| 両端固定ばり・中央に集中荷重 | 0.125×PL | 0.005208×PL³/EI | 0.4 |
| 両端固定ばり・等分布荷重 | 0.08333×wL² | 0.002604×wL⁴/EI | 0.2 |
| 一端固定・他端ピン・中央に集中荷重 | 0.1875×PL | 0.009317×PL³/EI | 0.716 |
| 一端固定・他端ピン・等分布荷重 | 0.125×wL² | 0.005416×wL⁴/EI | 0.416 |
係数は有効数字4桁(四捨五入。割り切れる値はそのまま)です。右の列は、荷重の合計W(集中荷重はP、等分布荷重はwL)・スパンL・EIが同じときの最大たわみを、単純ばり・等分布荷重(5WL³/(384EI))を1として比べた値(有効数字3桁。割り切れる値はそのまま)です。
表3: 単純ばりの任意の位置に集中荷重があるとき
| 荷重の位置 a/L | RA ×P | RB ×P | Mmax ×PL | 荷重点の たわみ ×PL³/EI | 最大たわみ ×PL³/EI | 最大たわみの 位置 x/L 支点Aから |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.05 | 0.95 | 0.05 | 0.0475 | 0.0007521 | 0.003195 | 0.4234 |
| 0.1 | 0.9 | 0.1 | 0.09 | 0.0027 | 0.006319 | 0.4255 |
| 0.2 | 0.8 | 0.2 | 0.16 | 0.008533 | 0.01207 | 0.4343 |
| 0.25 | 0.75 | 0.25 | 0.1875 | 0.01172 | 0.01456 | 0.4410 |
| 0.3 | 0.7 | 0.3 | 0.21 | 0.0147 | 0.01671 | 0.4492 |
| 1/3 | 0.6667 | 0.3333 | 0.2222 | 0.01646 | 0.01792 | 0.4557 |
| 0.4 | 0.6 | 0.4 | 0.24 | 0.0192 | 0.01975 | 0.4708 |
| 0.45 | 0.55 | 0.45 | 0.2475 | 0.02042 | 0.02056 | 0.4844 |
| 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.25 | 0.02083 | 0.02083 | 0.5 |
荷重は支点Aから距離a(a≦L/2)の点にあります。最大曲げモーメントは荷重点に生じます。a＜L/2のとき、最大たわみは荷重点ではなく、荷重点よりスパン中央側(支点Bの側)に生じます。その位置は荷重の位置によらず支点Aから0.4226L〜0.5Lの間(スパン中央から0.077L以内)です。値は有効数字4桁(四捨五入。割り切れる値はそのまま)です。
表4: 建築物のはり・床版でたわみの確認が要らない条件(平成12年建設省告示第1459号 第一)
| 構造 | 部分 | この条件式を満たせば 確認不要 | 有効長さ3,000mm のときの値(mm) | 有効長さ6,000mm のときの値(mm) |
|---|---|---|---|---|
| 木造 | はり(床面に用いるもの) | D/l＞1/12 | 250 | 500 |
| 鉄骨造 | デッキプレート版(床版としたもののうち平成14年国土交通省告示第326号に適合するもの) | t/lx＞1/25 | 120 | 240 |
| 鉄骨造 | はり | D/l＞1/15 | 200 | 400 |
| 鉄筋コンクリート造 | 床版(片持ち以外) | t/lx＞1/30 | 100 | 200 |
| 鉄筋コンクリート造 | 床版(片持ち) | t/lx＞1/10 | 300 | 600 |
| 鉄筋コンクリート造 | はり | D/l＞1/10 | 300 | 600 |
| 鉄骨鉄筋コンクリート造 | はり | D/l＞1/12 | 250 | 500 |
| アルミニウム合金造 | はり | D/l＞1/10 | 300 | 600 |
| 軽量気泡コンクリートパネルを用いた構造 | 床版 | t/lx＞1/25 | 120 | 240 |
D: はりのせい、l: はりの有効長さ、t: 床版の厚さ、lx: 床版の短辺方向の有効長さ(デッキプレート版・軽量気泡コンクリートパネルは支点間距離)。単位はいずれもmmです。告示の表の「はり」は、いずれも床面に用いるものに限られます(木造の欄の定めが表全体にかかります)。告示第一は、建築基準法施行令第82条第四号の確認が必要な場合を、この条件式を満たす場合以外の場合と定めています。右の2列は、条件式の比に有効長さを掛けた値で、せい・厚さがこれを超えれば条件式を満たします(例: 鉄骨造のはりで有効長さ6,000mmなら、せいが400mmを超えれば条件式を満たします)。
表5: たわみの確認の方法と、計算たわみの上限(告示第1459号 第二)
| 有効長さ l (mm) | 鉄骨造 (デッキ以外)・アルミ 係数1 | 鉄骨造の デッキプレート版 係数1.5 | 軽量気泡 コンクリート 係数1.6 | 木造 係数2 | 鉄骨鉄筋 コンクリート造 係数4 | 鉄筋コンクリート 造のはり 係数8 | 鉄筋コンクリート 造の床版 係数16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2,000 | 8.0 | 5.3 | 5.0 | 4.0 | 2.0 | 1.0 | 0.5 |
| 3,000 | 12.0 | 8.0 | 7.5 | 6.0 | 3.0 | 1.5 | 0.7 |
| 4,000 | 16.0 | 10.6 | 10.0 | 8.0 | 4.0 | 2.0 | 1.0 |
| 5,000 | 20.0 | 13.3 | 12.5 | 10.0 | 5.0 | 2.5 | 1.2 |
| 6,000 | 24.0 | 16.0 | 15.0 | 12.0 | 6.0 | 3.0 | 1.5 |
| 7,000 | 28.0 | 18.6 | 17.5 | 14.0 | 7.0 | 3.5 | 1.7 |
| 8,000 | 32.0 | 21.3 | 20.0 | 16.0 | 8.0 | 4.0 | 2.0 |
| 10,000 | 40.0 | 26.6 | 25.0 | 20.0 | 10.0 | 5.0 | 2.5 |
告示第二の確認方法は「たわみの最大値×変形増大係数÷有効長さ≦1/250」です。たわみの最大値は、建築物の実況に応じた固定荷重と積載荷重で計算します(施行令第85条の表の室の床は、同表(は)欄の数値で計算することもできます)。変形増大係数は、木造2、鉄骨造1(デッキプレート版は1.5)、鉄筋コンクリート造の床版16・はり8、鉄骨鉄筋コンクリート造4、アルミニウム合金造1、軽量気泡コンクリートパネルを用いた構造1.6で、載荷実験で求めた場合はその数値を使うこともできます。表の値は、これを満たす計算たわみの上限 l÷(250×変形増大係数)(mm)で、上限なので小数第2位以下を切り捨てています。
使い方(単位をそろえる)
- 単位をN・mmにそろえる — 荷重P[N]、等分布荷重w[N/mm]、スパンL[mm]、ヤング率E[N/mm²]、断面二次モーメントI[mm⁴]で入れると、たわみδはmm、曲げモーメントMはN·mm、たわみ角はラジアンで出ます。1kN/m=1N/mm、1kN·m=1,000,000N·mmです。
- 計算の例 — 単純ばり・スパン4,000mm・等分布荷重2kN/m(=2N/mm)なら、M=wL²/8=2×4,000²÷8=4,000,000N·mm(=4.0kN·m)、δ=5wL⁴/(384EI)=6.667×10¹²÷EI(mm)。EI(N·mm²)は、使う材料のヤング率E(N/mm²)と断面のI(mm⁴)を掛けた値です。
- 曲げ応力 — σ=M÷Z(Zは断面係数mm³)でN/mm²になります。I・Zは断面二次モーメント・断面係数の早見表、形鋼はH形鋼などの規格表で引きます。
- 荷重が複数あるとき — 弾性範囲では、荷重ごとの結果を足し合わせられます(重ね合わせ)。ただし最大値の位置が違うときは、同じ位置の値どうしを足します。
式の導き方と前提
- はりの微分方程式 — たわみy(下向きを正)と曲げモーメントMの関係は EI·d²y/dx²=−M、荷重wとの関係は EI·d⁴y/dx⁴=w です。せん断力はV=dM/dxです。
- 境界条件 — 固定端はたわみ0・たわみ角0、ピン(単純支持)はたわみ0・曲げモーメント0、自由端は曲げモーメント0・せん断力0(先端に集中荷重があるときはせん断力P)。集中荷重の点では、たわみ・たわみ角・曲げモーメントが連続で、せん断力がPだけ変わります。
- 当サイトでの確かめ方 — 表1の各場合(任意の位置の集中荷重は表3の9つの荷重位置)で、区間ごとの多項式を分数で厳密に解いた値と、曲げモーメントを数値積分してたわみを出した値が、表の式・係数と一致することを確かめています。
- 前提 — 材料が弾性範囲にあること、たわみが小さいこと、せん断変形を無視すること(スパンがはりのせいに比べて十分長い細長いはり)、断面とEIが全長で一定であること、支点が完全な固定・完全なピンであること。実際の接合部は完全な固定にもピンにもならないことが多く、はりの自重は等分布荷重に含めて計算します。
間違えやすいポイント
- kN/mとN/mmの換算 — 1kN/m=1N/mmなので、kN/mの数値はそのままN/mmとして使えます。wをN/m(2kN/m=2,000N/m)の数値で入れ、Lをmmで入れると、たわみが1,000倍大きく出ます。
- 単純ばりと両端固定ばりの取り違え — 等分布荷重の最大たわみは、両端固定ばりで単純ばりの1/5、中央集中荷重では1/4です。接合部を固定とみなしてよいかは、構造と接合の方法で決まります。
- 両端固定ばりの最大曲げモーメントを中央で見る — 等分布荷重では、固定端のwL²/12が中央のwL²/24の2倍です。
- スパンの効き方 — 同じ荷重の大きさ(Pまたはw)なら、スパンを2倍にすると、たわみは集中荷重で8倍、等分布荷重で16倍になります。
- 一端固定・他端ピンの最大たわみの位置 — スパン中央ではなく、ピン端寄り(中央集中で0.4472L、等分布で0.4215L)にあります。
よくある質問
Q1. 単純ばりの最大曲げモーメントとたわみの公式は?
A. 等分布荷重wではM=wL²/8・δ=5wL⁴/(384EI)、中央に集中荷重PではM=PL/4・δ=PL³/(48EI)で、どちらもスパン中央が最大です。支点反力はwL/2・P/2、支点のたわみ角はwL³/(24EI)・PL²/(16EI)です(弾性範囲・小さいたわみ・せん断変形を無視した式)。
Q2. 片持ちばりのたわみの公式は?
A. 先端に集中荷重Pならδ=PL³/(3EI)、全長に等分布荷重wならδ=wL⁴/(8EI)で、どちらも先端が最大です。固定端の曲げモーメントはPL・wL²/2、先端のたわみ角はPL²/(2EI)・wL³/(6EI)です。
Q3. 両端固定ばりの曲げモーメントとたわみは?
A. 等分布荷重では固定端の曲げモーメントがwL²/12(中央はwL²/24)、最大たわみがwL⁴/(384EI)で、単純ばりの1/5です。中央に集中荷重Pなら、固定端と中央の曲げモーメントがともにPL/8、最大たわみがPL³/(192EI)です。
Q4. 一端固定・他端ピンのはりの最大たわみは?
A. 等分布荷重では約0.005416wL⁴/EI(≒wL⁴/(185EI))で、ピン端から0.4215Lの点に生じます。中央に集中荷重PならPL³/(48√5·EI)≒0.009317PL³/EIで、ピン端から0.4472L(L/√5)の点です。反力は等分布で固定端5wL/8・ピン端3wL/8、中央集中で固定端11P/16・ピン端5P/16です。
Q5. たわみの計算で単位はどうそろえる?
A. P[N]、w[N/mm]、L[mm]、E[N/mm²]、I[mm⁴]で入れると、たわみはmmで出ます。1kN/m=1N/mmなので、等分布荷重はkN/mの数値をそのままN/mmとして使えます。曲げモーメントはN·mm(1kN·m=1,000,000N·mm)です。
Q6. 建築基準法でのはりのたわみの基準は?
A. 建築物の構造計算では、施行令第82条第四号にもとづく平成12年建設省告示第1459号で、実況に応じた固定荷重と積載荷重によるたわみの最大値×変形増大係数÷有効長さ≦1/250を確かめる方法が定められています。変形増大係数は木造2、鉄骨造1、鉄筋コンクリート造のはり8・床版16など(表5)です。床面に用いるはりのせい・床版の厚さが、有効長さ(床版は短辺方向。デッキプレート版・軽量気泡コンクリートパネルは支点間距離)に対して告示第一の比(鉄骨造のはりはD/l＞1/15など)を超えるとき(条件式を満たすとき)は、この確認は要りません。
Q7. 集中荷重が中央にないときの最大たわみの位置は?
A. 単純ばりで荷重が支点Aから距離a(a≦L/2)にあるとき、最大たわみは支点Bから√((L²−a²)/3)の点で、Pa(L²−a²)^(3/2)/(9√3·EIL)です。位置は荷重の位置によらず、スパン中央から0.077L以内にあります(表3)。
関連する早見表
- 断面二次モーメント・断面係数 — I・Zの公式と丸棒・角棒・平板の値
- H形鋼 寸法・重量 — 規格の断面性能
- 鋼材のF値・許容応力度 — 曲げ応力の許容値
- 積載荷重 — 室の種類別の床の荷重
- 固定荷重 — 屋根・床・壁の単位面積当たり荷重
- 木材の基準強度 — Fb・許容応力度
出典・参考
- 平成12年建設省告示第1459号「建築物の使用上の支障が起こらないことを確かめる必要がある場合及びその確認方法を定める件」(改正 平成19年国土交通省告示第621号) — 第一の表(条件式)、第二 第一号(たわみの最大値の計算)・第二号(変形増大係数の表と1/250) — 国土交通省 告示・通達データベース(同省の告示・通達一覧 2026年10月19日更新版で掲載先を確認)
- 建築基準法施行令(昭和25年政令第338号) — 第82条第四号(変形・振動による使用上の支障の確認) — e-Gov法令検索の現行版(令和8年政令第284号による改正、2026年11月1日施行)で確認
- 計量単位令(平成4年政令第357号) — 別表第一 第二十号(ニュートン)・第二十一号(ニュートンメートル)・第二十三号(応力)、第四条・別表第四(接頭語)・別表第五 第七号・第八号(N·mm、N/mm²の作り方)。1kN/m=1N/mmなどの単位の換算に使用 — e-Gov法令検索の現行版(令和5年政令第376号による改正、2023年12月28日施行)で確認
- 表1〜表3の公式・係数は、はりの微分方程式(EI·d⁴y/dx⁴=w、EI·d²y/dx²=−M)を各場合の境界条件で当サイトが解いたものです(導き方は本文)。
※ 表1〜表3の式・係数は、当サイトが区間ごとの多項式の厳密解と、曲げモーメントの数値積分の2つの方法で計算し、互いに一致することを確かめたものです。教科書・便覧の値を写したものではありません。ヤング率などの材料の値は載せていません(使う材料・規格の値で計算してください)。
※ 丸め: 表2・表3の係数は有効数字4桁(四捨五入。割り切れる値はそのまま)、表2のたわみの比は有効数字3桁、表5は上限値なので小数第2位以下を切り捨てています。
※ 式は、弾性範囲・小さいたわみ・せん断変形を無視・断面一定・支点が完全な固定またはピンという前提の理論値です。表4・表5の告示の数値は2026年11月時点で確認した出典にもとづきます。改正されることがあるため、最新の原典を確認してください。
※ 部材の設計・建築物の構造計算や、告示の確認が必要かどうかの判断は、原典と有資格者の確認のうえで行ってください。
※ 本ページの表・数値は、上記の出典をもとに当サイトが計算・編集（加工）して作成したものです。出典元の機関・団体が作成したものではありません。
最終更新: 2026-11-01