慣性モーメント(イナーシャ)の計算 早見表(公式・換算・GD²)
慣性モーメント(イナーシャ)J[kg·m²]は回転の速さの変えにくさを表す量で、円板・中実円柱(中心軸まわり)は J=mD²/8(m: 質量kg、D: 直径m)です。形ごとの公式、平行軸の定理、減速機・ボールねじ・ベルトを通したモーター軸への換算、GD²との関係(GD²[kgf·m²]の数値=4×J[kg·m²]の数値)と、密度1g/cm³の円板のJの表を、式から計算してまとめました。
🌀 慣性モーメント 判断即答ボックス
表1: 形ごとの慣性モーメントの公式
| 形(回転軸) | 慣性モーメント J | 記号と条件 |
|---|---|---|
| 中実円柱・円板 中心軸まわり | mD²/8 =mr²/2 | D: 直径(r: 半径)。厚さ・長さに関係なく同じ式。密度ρからは J=ρπLD⁴/32(L: 厚さ・長さ) |
| 中空円柱(パイプ・リング) 中心軸まわり | m(D²+d²)/8 | D: 外径、d: 内径、m: 穴を除いた質量 |
| 薄肉円筒 中心軸まわり | ≒mD²/4 | 肉厚が直径に比べて十分薄いときの近似。D: 肉厚の中心の直径 |
| 円柱 重心を通り中心軸に直角な軸 | m(D²/16+L²/12) | D: 直径、L: 長さ |
| 直方体 重心を通り辺cに平行な軸 | m(a²+b²)/12 | a・b: 回転軸に直角な2辺(辺cの長さは式に入らない) |
| 細い棒 重心を通り棒に直角な軸 | mL²/12 | L: 長さ。太さを無視できるとき |
| 細い棒 端を通り棒に直角な軸 | mL²/3 | =mL²/12+m(L/2)²(平行軸の定理) |
| 小さな物体(質点) 回転軸から距離r | mr² | 物体の大きさを無視できるとき |
| 平行軸の定理 重心から離れた軸まわり | Jg+mL² | Jg: 重心を通る平行な軸まわりのJ、L: 重心と回転軸の距離 |
※ m: 質量[kg]、長さ[m]で入れると J は kg·m² です(mmで入れると kg·mm²=10⁻⁶kg·m²)。どの式も密度が一様な物体の式です。形が組み合わさった部品は、部分ごとのJ(同じ回転軸まわり)を足し、穴の部分は引きます。
表2: モーター軸への換算の式
| つながり方 | モーター軸に換算した J | 記号と条件 |
|---|---|---|
| 減速機・歯車・プーリで減速 | JL÷i² | JL: 負荷軸まわりのJ。i=モーター軸の回転速度÷負荷軸の回転速度(負荷軸がモーター軸の1/10の回転速度ならi=10) |
| ボールねじ・送りねじで直線運動 | m×(P÷2π)² | m: テーブル・ワークなど直線で動く質量、P: ねじ1回転あたりの移動量(リード)[m] |
| ベルト・チェーン・ラックとピニオンで直線運動 | m×Dp²/4 | Dp: プーリ・スプロケット・ピニオンのピッチ円直径[m](1回転の移動量 P=πDp) |
| 全体 | 各部のJの合計 | モーター自身のJ、カップリング、ねじ軸・プーリ・歯車自身のJも、モーター軸に換算してから足す |
※ 運動エネルギーが等しくなるように換算した式で、減速機・ねじ・ベルトの損失(効率)・ガタ・伸びを含まない理論式です。減速機の先にボールねじがあるときは、ねじ軸まわりに換算した値をさらにi²で割ります。
表3: 密度1g/cm³の円板・丸棒のJ(×10⁻⁴kg·m²)
| 直径 D mm | 厚さ(丸棒なら長さ)mm | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 10 | 20 | 30 | 50 | 100 | |
| 20 | 0.0001571 | 0.0007854 | 0.001571 | 0.003142 | 0.004712 | 0.007854 | 0.01571 |
| 30 | 0.0007952 | 0.003976 | 0.007952 | 0.01590 | 0.02386 | 0.03976 | 0.07952 |
| 40 | 0.002513 | 0.01257 | 0.02513 | 0.05027 | 0.07540 | 0.1257 | 0.2513 |
| 50 | 0.006136 | 0.03068 | 0.06136 | 0.1227 | 0.1841 | 0.3068 | 0.6136 |
| 60 | 0.01272 | 0.06362 | 0.1272 | 0.2545 | 0.3817 | 0.6362 | 1.272 |
| 80 | 0.04021 | 0.2011 | 0.4021 | 0.8042 | 1.206 | 2.011 | 4.021 |
| 100 | 0.09817 | 0.4909 | 0.9817 | 1.963 | 2.945 | 4.909 | 9.817 |
| 120 | 0.2036 | 1.018 | 2.036 | 4.072 | 6.107 | 10.18 | 20.36 |
| 150 | 0.4970 | 2.485 | 4.970 | 9.940 | 14.91 | 24.85 | 49.70 |
| 200 | 1.571 | 7.854 | 15.71 | 31.42 | 47.12 | 78.54 | 157.1 |
| 250 | 3.835 | 19.17 | 38.35 | 76.70 | 115.0 | 191.7 | 383.5 |
| 300 | 7.952 | 39.76 | 79.52 | 159.0 | 238.6 | 397.6 | 795.2 |
| 400 | 25.13 | 125.7 | 251.3 | 502.7 | 754.0 | 1,257 | 2,513 |
| 500 | 61.36 | 306.8 | 613.6 | 1,227 | 1,841 | 3,068 | 6,136 |
| 600 | 127.2 | 636.2 | 1,272 | 2,545 | 3,817 | 6,362 | 12,723 |
| 800 | 402.1 | 2,011 | 4,021 | 8,042 | 12,064 | 20,106 | 40,212 |
| 1000 | 981.7 | 4,909 | 9,817 | 19,635 | 29,452 | 49,087 | 98,175 |
※ J=ρπtD⁴/32(ρ=1,000kg/m³=1g/cm³)を中心軸まわりで計算した値です。材料の比重(≒密度g/cm³の数値)を掛けると、その材料の値になります(比重・密度の値は比重・密度の早見表)。Jは厚さに比例するので、表にない厚さは比例で求められます。単位の ×10⁻⁴kg·m² は kg·cm² と同じです。直径・厚さは計算の例として選んだ値です。
表4: ボールねじで質量1kgを動かすときのJ
| リード P mm | モーター軸換算のJ ×10⁻⁴kg·m² |
|---|---|
| 1 | 0.0002533 |
| 2 | 0.001013 |
| 4 | 0.004053 |
| 5 | 0.006333 |
| 6 | 0.009119 |
| 8 | 0.01621 |
| 10 | 0.02533 |
| 12 | 0.03648 |
| 15 | 0.05699 |
| 16 | 0.06485 |
| 20 | 0.1013 |
| 25 | 0.1583 |
| 30 | 0.2280 |
| 32 | 0.2594 |
| 40 | 0.4053 |
| 50 | 0.6333 |
※ J=m(P÷2π)²の m=1kg の値です。動く質量(kg)を掛けます。ねじ軸自身のJ(中実円柱 mD²/8)とカップリングのJは別に足します。リードは計算の例として選んだ値です。
表5: ベルト・ラックで質量1kgを動かすときのJ
| ピッチ円直径 Dp mm | 1回転の移動量 πDp mm | モーター軸換算のJ ×10⁻⁴kg·m² |
|---|---|---|
| 10 | 31.42 | 0.25 |
| 15 | 47.12 | 0.5625 |
| 20 | 62.83 | 1 |
| 25 | 78.54 | 1.5625 |
| 30 | 94.25 | 2.25 |
| 40 | 125.66 | 4 |
| 50 | 157.08 | 6.25 |
| 60 | 188.50 | 9 |
| 80 | 251.33 | 16 |
| 100 | 314.16 | 25 |
| 120 | 376.99 | 36 |
| 150 | 471.24 | 56.25 |
| 200 | 628.32 | 100 |
※ J=m×Dp²/4 の m=1kg の値で、割り切れる値です。動く質量(ベルト・チェーンの質量を含む)を掛け、プーリ・スプロケット・ピニオン自身のJを足します。従動側のプーリが同じ直径なら同じ回転速度で回るので、そのJもそのまま足します。
表6: 慣性モーメントの単位換算
| 単位 | 1単位 = ? kg·m² | 1kg·m² = ? 単位 |
|---|---|---|
| kg·cm² | 10⁻⁴ | 10,000 |
| kg·mm² | 10⁻⁶ | 1,000,000 |
| g·cm² | 10⁻⁷ | 10,000,000 |
| g·mm² | 10⁻⁹ | 1,000,000,000 |
| kgf·m·s² | 9.80665 | 0.1019716 |
| kgf·cm·s² | 0.0980665 | 10.19716 |
| lb·ft² | 0.04214011 | 23.73036 |
| lb·in² | 2.926397×10⁻⁴ | 3,417.172 |
| oz·in² | 1.828998×10⁻⁵ | 54,674.75 |
※ kgf·m·s²は重力単位系のJ(1kgf=9.80665N)です。GD²(kgf·m²)はJとは別の量で、数値は J(kg·m²)の4倍です(J=GD²÷4。下の「GD²との関係」)。lb・in・ft・ozは計量単位令 別表第七の定義(1ヤード=0.9144m、1インチ=ヤードの1/36、1フィート=ヤードの1/3、1ポンド=0.45359237kg、1オンス=ポンドの1/16)から計算しました。割り切れない値は有効数字7桁です。
使い方
- 負荷のJを出す — 部品の形ごとに表1でJを出し(円板・丸棒は表3)、減速機・ボールねじ・ベルトを通るものは表2でモーター軸に換算して足します。例: 直径100mm・厚さ10mm・密度1g/cm³の円板は0.9817×10⁻⁴kg·m²。材料の比重を掛けます。
- 穴のある円板・プーリ — 同じ厚さなら、外径の値から穴の径の値を引きます。φ100・厚さ10mmにφ20の穴なら、φ100の値からφ20の値を引いて≒0.9802×10⁻⁴kg·m²(密度1g/cm³。丸める前の値で計算)。
- 加速に要るトルク — T=J×α(T: N·m、α: 角加速度 rad/s²)。0から回転速度N[min⁻¹]までt秒で一定に加速するなら α=2πN÷(60t)。J=0.01kg·m²を0.5秒で1,500min⁻¹にするなら α≒314.2rad/s²、T≒3.142N·mです。負荷トルク・摩擦・効率の分は別に見込みます。
- GD²で書かれた資料を読む — J(kg·m²)=GD²(kgf·m²)÷4。加速トルクをGD²のまま計算するなら T[N·m]=GD²×N÷(38.20×t)、T[kgf·m]=GD²×N÷(374.6×t)です(定数は 4×60÷2π と、それに9.80665を掛けた値)。
公式と換算の導き方
- 定義 — J=Σm·r²=∫r²dm(rは回転軸からの距離)。回転の運動エネルギーはJω²/2、回転の運動方程式は T=Jα で、直線運動の mv²/2・F=ma の質量にあたる量です。
- 円板 — 半径rの細い輪(質量 dm=ρ·2πr·t·dr)を0から半径Rまで足すと J=πρtR⁴/2=mR²/2=mD²/8。中空なら内半径から外半径まで足して m(D²+d²)/8 です。
- 平行軸の定理 — 重心からLだけ離れた平行な軸まわりでは、各部の距離の2乗の和に m·L² が加わり、J=Jg+mL² になります。
- 減速機の換算 — 負荷の運動エネルギー JLωL²/2 を、ωL=ωM÷i でモーター軸の角速度に直すと (JL÷i²)ωM²/2 になります。
- 直線運動の換算 — ねじが1回転(2π rad)でP進むので v=P·ω÷2π。mv²/2=Jω²/2 から J=m(P÷2π)²。プーリ・ピニオンでは P=πDp なので J=m(Dp/2)²。
- GD²との関係 — GD²は日本の機械・モーターの資料で慣用されてきた量で、G: 物体の重量[kgf]、D: 回転直径(慣性半径k=√(J/m)の2倍。外径ではない)とした G×D² です。この定義のもとで、1kgfは質量1kgに標準の重力加速度9.80665m/s²が働く力なので質量m kgの物体の重量はm kgfで数値が同じになり、GD²=m×(2k)²=4mk² の数値は J(kg·m²)の数値の4倍です。円板の回転直径は外径の1/√2で、外径を使うとGD²が2倍に出ます。なお、GD²を定めた法令・規格は当サイトでは確認していません。
間違えやすいポイント
- 直径と半径 — 円板は mD²/8=mr²/2。直径で mD²/2 とすると4倍に出ます。
- mmのまま計算する — mm・kgで入れると kg·mm²(×10⁻⁶でkg·m²)です。モーターの資料のJ(×10⁻⁴kg·m²など)と比べるときは単位をそろえます(表6)。
- 減速比の向き — 負荷側のJをモーター軸に移すときは i² で割ります。掛けると i⁴ 倍の誤りになります。
- GD²とJの取り違え — GD²(kgf·m²)とJ(kg·m²)は単位の形が似ていますが、数値は4倍違います。記号(GD²かJか)で確かめます。
- kgf·m·s²とkg·m² — 重力単位系のJは、kg·m²の値の1/9.80665です。
よくある質問
Q1. 円板(円柱)の慣性モーメントの公式は?
A. 中心軸まわりはJ=mD²/8(=mr²/2)です(m: 質量kg、D: 直径m)。密度ρ・厚さLからは J=ρπLD⁴/32 で、直径100mm・厚さ10mm・密度1g/cm³なら0.9817×10⁻⁴kg·m²です。材料の比重を掛けると、その材料の値になります。
Q2. GD²と慣性モーメントJの換算は?
A. J(kg·m²)=GD²(kgf·m²)÷4です。GD²のGは重量(kgf)、Dは回転直径(慣性半径k=√(J/m)の2倍)とする慣用の定義で、質量m kgの物体の重量はm kgf(標準の重力加速度9.80665m/s²で定義)なので、GD²の数値はJの数値の4倍になります。Dは外径ではなく、円板の外径を使うとGD²が2倍に出ます。
Q3. 減速機を通した負荷の慣性モーメントは?
A. モーター軸に換算するとJ÷i²です。iはモーター軸の回転速度÷負荷軸の回転速度で、負荷軸がモーター軸の1/10の回転速度(i=10)なら負荷のJの1/100です。減速機の損失(効率)は含まない理論式です。
Q4. ボールねじで動かすテーブルの慣性モーメントは?
A. J=m×(P÷2π)²です(m: 動く質量kg、P: リードm)。リード10mmで質量10kgなら 10×0.02533=0.2533×10⁻⁴kg·m²です。ねじ軸自身のJ(中実円柱 mD²/8)とカップリングのJを別に足します。
Q5. ベルトやラックで直線に動かす負荷の慣性モーメントは?
A. J=m×Dp²/4です(Dp: プーリ・ピニオンのピッチ円直径m)。質量1kg・Dp 50mmなら6.25×10⁻⁴kg·m²です。プーリ・ピニオン自身のJも足します。
Q6. 回転軸から離れた位置にある部品の慣性モーメントは?
A. 平行軸の定理 J=Jg+m·L² で求めます(Jg: 部品の重心を通る平行な軸まわりのJ、L: 重心と回転軸の距離)。例えば質量2kg・Jg=0.001kg·m²の部品を回転軸から0.2mの位置に付けると 0.001+2×0.2²=0.081kg·m²です。
Q7. kg·cm²・lb·in²とkg·m²の換算は?
A. 1kg·m²=10,000kg·cm²で、「×10⁻⁴kg·m²」で表した数値はkg·cm²で表した数値と同じです。1lb·in²=2.926397×10⁻⁴kg·m²、1lb·ft²=0.04214011kg·m²です(ポンド・インチの定義から計算)。
関連する早見表
- モーター回転数 — 極数と周波数の同期回転数
- 比重・密度 — 材料の比重(表3に掛ける値)
- 断面二次モーメント・断面係数 — 断面の形の値(Jとは別の量)
- タイミングベルト規格 — ピッチと呼び幅
- 歯車モジュール — ピッチ円直径の計算
- 熱量・動力の単位換算 — kW・馬力
出典・参考
- 計量単位令(平成四年政令第三百五十七号)別表第一 第一号(メートル)・第二号(キログラム・グラム)・第十二号(角速度)・第十三号(角加速度)・第十七号(回転速度: 毎分)・第十九号(密度: キログラム毎立方メートル・グラム毎立方メートル)・第二十号(ニュートン)・第二十一号(ニュートンメートル)、別表第四(接頭語 センチ・ミリ)、別表第五 第一号・第五号(接頭語を付したときの乗数)、別表第七 第一号・第二号(ヤード・インチ・フィート・ポンド・オンス) — e-Gov法令検索の現行条文(令和五年政令第三百七十六号による改正、2023年12月28日施行。2026年11月1日に取得)で確認
- 計量法(平成四年法律第五十一号)第8条第1項(非法定計量単位の取引・証明での使用の禁止)、附則第3条第3項・附則別表第三(重量キログラムなどを平成11年9月30日まで法定計量単位とみなす経過措置) — e-Gov法令検索の現行条文(令和四年法律第六十八号による改正、2025年6月1日施行)で確認
- 国際度量衡総会(CGPM)第3回(1901年) Declaration 2(重さ=質量×重力加速度、標準の重力加速度 980.665cm/s²) — 国際度量衡局(BIPM)、Proceedings of the 3rd CGPM (1901) p.70 — bipm.org
- NIST Special Publication 811 (2008 Edition) Guide for the Use of the International System of Units (SI) — 米国国立標準技術研究所(NIST)。Table 11(1kgf=9.80665N)、Appendix B.3(oz·in²からkg·m²への換算の例)、B.8(kilogram-force、kilogram-force second squared per meter、注23)、B.9 MASS and MOMENT OF INERTIA(lb·ft²・lb·in²) — nist.gov
- 公式(表1)と換算の式(表2)は、慣性モーメントの定義 J=∫r²dm と運動エネルギーの式から当サイトが導いたものです(導き方は本文)。
※ 表3〜表6の値は、表1・表2の式と単位の定義から当サイトが計算した値です。表1の公式は物体を細かく分けた数値積分と、表2の換算は運動エネルギー・運動方程式の計算と一致することを確かめています。表6のlb·ft²・lb·in²・oz·in²の係数はNIST SP 811の値と一致します。
※ 丸め(四捨五入): 表3・表4のJは有効数字4桁(1,000以上は整数)、表5のJは割り切れる値、1回転の移動量は小数第2位、表6の換算係数は割り切れない値を有効数字7桁にしています。
※ 重量キログラム(kgf)は、計量法の経過措置で平成11年9月30日まで法定計量単位とみなされていた単位で、現在は法定計量単位ではないため、取引・証明には原則として使えません(計量法第8条)。本ページのkgf・GD²は、古い資料の値を読むための換算として載せています。
※ 本ページの法令の確認は2026年11月時点のものです。改正されることがあるため、最新の原典を確認してください。
※ 本ページの式は、密度が一様な物体の式と、損失(効率)・ガタ・伸びを含まない理論式です。モーターの選定や装置の設計・安全の判断は、メーカーの資料と有資格者の確認のうえで行ってください。
※ 本ページの表・数値は、上記の出典をもとに当サイトが計算・編集（加工）して作成したものです。出典元の機関・団体が作成したものではありません。
最終更新: 2026-11-01